チョコボールのエンゼルの期待値から考えるチョコボールを最適に食べていく方法を考える

はじめに

以前、チョコボールのキョロちゃん缶詰である、プログラミング・キョロちゃん缶が届いたことに関する記事を書きました。

そこでふと思ったのですが、おもちゃの缶詰の期待値から考えてチョコボールを最適にするにはどうすればよいのでしょうか。

ネットで調べてみると、当たる確率としては、銀のエンゼルは3.7%、金のエンゼルは0.03%という値らしいです。

さらにはチョコボールのエンゼルからキョロ缶を手に入れるまでの確率について数研の記事でありました。

以下になります。

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/89/89-10.pdf

今回はこちらの記事の一部を引用しつつ、チョコボールを最適に食べていく方法を考えていきます。

エンゼルの確率

上記の記事から、

チョコボールを$n$個買う時、

銀のエンゼルは3.7%、金のエンゼルは0.03%なので、

金のエンゼルマークが少なくとも1枚当たる確率を$p_{1}$、

銀のエンゼルマークが少なくとも5枚当たる確率を$p_{2}$

は以下のように表せます。

$$ p_{1} = 1 – \Big( \frac{997}{1000} \Big)^{n} $$

$$ p_{2} = 1 – \Big( \frac{963}{1000} \Big)^{n} – {}_n C_1\Big( \frac{963}{1000} \Big)^{n-1}\Big( \frac{37}{1000} \Big) – {}_n C_2\Big( \frac{963}{1000} \Big)^{n-2}\Big( \frac{37}{1000} \Big)^{2} $$

$$ – {}_n C_3\Big( \frac{963}{1000} \Big)^{n-3}\Big( \frac{37}{1000} \Big)^{3} – {}_n C_4\Big( \frac{963}{1000} \Big)^{n-4}\Big( \frac{37}{1000} \Big)^{4} $$

購入する個数である$n$を横軸にとると以下のようなグラフになります。（縦軸は確率）

このグラフでは2000個購入するまでを載せていますが、それでも金のエンゼルが1枚当たる確率は40%程度にしかなりません。

現在のチョコボールの価格は100円なので、金のエンゼルを当てようとした目的で購入すると少なくとも20万円以上の価値と言っても良いですが、実際はチョコボールを購入しているので、20万円以上の価値はないです。

一方で、銀のエンゼルを5枚集められる確率は215個の購入の時点で90%を超えます。

期待値から最適なチョコボールの買い方を考えていく

キョロちゃん缶の価格を$value$、キョロちゃん缶を手に入れるまでのコストを$cost$とします。

$P_{n}$を銀のエンゼルがn箱めで5つ集まる確率とします。

この時、期待値は以下のように表されます。

$$期待値 = P_{n}×value – n×cost$$

キョロちゃん缶の価格と言うのは個人それぞれの価値観で変わってきます。

ここでは一旦、キョロちゃん缶の価値を2,000円とします。

現在、チョコボール１箱の中身28gに対して、金額は100円です。

このチョコボールに対して100円を払うかどうかも個人の価値観によって変わってきます。

例えば、90円の価値しかないと思うのであれば、コストは10円になるという訳です。

この条件で、期待値をもとめます。

キョロちゃん缶が2,000円の価値でチョコボールのコストが10円の場合、期待値は以下のようなグラフになります。

縦軸が期待値、横軸がチョコボールを購入する個数です。

グラフを見ていただくと分かりますが、つねにマイナスになってしまっています。

このため、キョロちゃん缶の価値が2,000円だなと思っていて、チョコボールの価値が90円だと感じる価値観を持っている人には常に損になります。

一方で、コストを10円から5円にします。（つまり、チョコボールの価値を95円とします）

この場合の期待値は以下のグラフになります。

最初はマイナスになっていたのですが、途中からプラスに変わります。

このため、キョロちゃん缶の価値が2,000円だなと思っていて、チョコボールの価値が95円だと感じる価値観を持っている人には特になります。

🐔🐔🐔

では、一転して、キョロちゃん缶の価値を10,000円としましょう。

10,000円払ってでも欲しい人ですので、かなりキョロちゃん缶を欲しい人なのでしょう。

この場合、コストを40円（40%offの状態）で考えると以下のようなグラフとなり、プラスに働きます。

つまり、10,000円払ってでもキョロちゃん缶が欲しい人からするとチョコボールは40%off以上の値引きがされている状態になります。

以上を踏まえると、本当に欲しいキョロちゃん缶が出てくるまで銀のエンゼルはとっておくことが良いと思います。

もしかしたら、自分にとっては10,000円を払っても欲しいキョロちゃん缶が登場するかも。

ちなみに、キョロちゃん缶は約1年スパンで新しいものに変わっているように見えます。

すべてのキョロちゃん缶が欲しいのであれば、毎日チョコボールを1箱購入すれば、すべてのキョロちゃん缶を手に入れることができるでしょう。（215個買えば90%以上の確率で銀のエンゼルが5枚そろうので）

でも、キョロちゃん缶を手に入れることが目的になってしまうと、自分の持っているチョコボールに対する価値観によっては損をしてしまいます。

もちろん、チョコボールはおいしいので、普通にチョコを楽しむというのが本当はベストな気がしています。

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